附录1关于连加号的说明

本文是北大三附录1的整理, 旨在提前将连加号的结论描述出来, 在前面的行文证明中可以直接拿来使用.

有关连加号 $\sum$ 的说明:

形式定义:

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} := a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}

使用冒号表示被定义的符号, 即将右侧的连续项求和定义成左边的符号.

定义是一个形式化定义, 指标可以不加限制, 随意使用:

\sum_{j = 1}^{k} b_{j} := b_{1} + b_{2} + \dots + b_{k}

含义与上面的定义含义是一样的. 当然如果考虑

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} 和 \sum_{j = 1}^{k} b_{j}

是否相等, 就看 $a$ , $b$ , 以及 $n$ 和 $k$ 的取值是否相同.

同时指标不见得是等号, 也可以是范围, 例如:

\sum_{\binom{i < 5}{i \in N^{+}}} a_{i} := a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}

也有更复杂的情况, 关键是考虑指标的关系, 例如:

\begin{array}{rcl} \sum_{j = 2}^{n} \sum_{i < j} a_{i j} & := & a_{12} \\ + (a_{13} + a_{23}) \\ + \dots \\ + (a_{1 n} + a_{2 n} + \dots + a_{(n - 1) n}) \end{array}

再比如, 有两个多项式:

\begin{array}{rcl} f (x) & = & a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{0}, \\ g (x) & = & b_{m} x^{m} + b_{m - 1} x^{m - 1} + \dots + b_{0} . \end{array}

其乘积 $f (x) g (x)$ 中 $x^{t}$ 的系数为:

\sum_{i + j = t} a_{i} b_{j}

这都不是重点, 重点是结论是多个连接号可以交换顺序:

\sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{m} a_{i j}

实际上:

\begin{array}{rcl} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} & = & \sum_{i = 1}^{m} (a_{i 1} + a_{i 2} + \dots + a_{i n}) \\ = & \sum_{i = 1}^{m} a_{i 1} + \sum_{i = 1}^{m} a_{i 2} + \dots + \sum_{i = 1}^{m} a_{i n} \\ = & (a_{11} + a_{21} + \dots + a_{m 1}) \\ + (a_{12} + a_{22} + \dots + a_{m 2}) \\ + \dots \\ + (a_{1 n} + a_{2 n} + \dots + a_{m n}) \end{array}

然后将展开后的式子竖着组合:

\begin{array}{rcl} (a_{11} + a_{12} + \dots + a_{1 n}) \\ + (a_{21} + a_{22} + \dots + a_{2 n}) \\ + \dots \\ + (a_{m 1} + a_{m 2} + \dots + a_{m n}) \\ = & \sum_{j = 1}^{n} a_{1 j} + \sum_{j = 1}^{n} a_{2 j} + \dots + \sum_{j = 1}^{n} a_{m j} \\ = & \sum_{j = 1}^{n} (a_{1 j} + a_{2 j} + \dots + a_{m j}) \\ = & \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{m} a_{i j} \end{array}

即可得连续加号可以交换位置.